Trabajo y energía

Lo esencial

• Trabajo: $W = Fd\cos\theta$; solo la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento hace trabajo.
• Energía cinética $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ y potencial gravitacional $E_p = mgh$.
• Teorema trabajo-energía: el trabajo neto es igual al cambio de energía cinética.
• Conservación de la energía mecánica cuando no hay fricción.
• Potencia $P = \frac{W}{t}$ y eficiencia de una máquina.

Trabajo

Cuando una fuerza constante $F$ actúa sobre un cuerpo que se desplaza una distancia $d$, y entre ambos hay un ángulo $\theta$:

$W = F\,d\cos\theta$

La unidad es el joule: $1 \text{ J} = 1 \text{ N·m}$.

Ángulo	Trabajo	Ejemplo
$\theta = 0^\circ$	positivo y máximo, $W = Fd$	empujar un carrito hacia adelante
$\theta = 90^\circ$	cero	el peso de una mochila al caminar en horizontal
$\theta = 180^\circ$	negativo, $W = -Fd$	la fricción que frena un objeto

Sostener una caja quieta no realiza trabajo mecánico, aunque te canses, porque no hay desplazamiento. En una gráfica fuerza-desplazamiento, el trabajo es el área bajo la curva.

Formas de energía mecánica

La energía es la capacidad de realizar trabajo y también se mide en joules.

• Cinética: $E_c = \frac{1}{2}mv^2$. Si la rapidez se duplica, la energía cinética se cuadruplica.
• Potencial gravitacional: $E_p = mgh$, medida desde un nivel de referencia que tú eliges.
• Potencial elástica: $E_e = \frac{1}{2}kx^2$ en un resorte de constante $k$ estirado o comprimido una distancia $x$.

El teorema trabajo-energía relaciona trabajo y movimiento:

$W_{\text{neto}} = \Delta E_c = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2$

Conservación de la energía y potencia

Si solo actúan fuerzas conservativas (peso, resortes) y no hay fricción, la energía mecánica total se mantiene:

$E_c + E_p = \text{constante} \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \tfrac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$

Por ejemplo, en un péndulo o una montaña rusa sin fricción, la energía pasa de potencial a cinética y de regreso. Un objeto que cae desde el reposo una altura $h$ llega con $v = \sqrt{2gh}$, sin importar su masa.

Con fricción, parte de la energía mecánica se transforma en calor, pero la energía total (incluyendo la térmica) se sigue conservando: la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma.

La potencia es la rapidez con que se realiza un trabajo:

$P = \frac{W}{t} = Fv$

Su unidad es el watt: $1 \text{ W} = 1 \text{ J/s}$. Un caballo de fuerza (hp) equivale aproximadamente a 746 W.

La eficiencia compara la energía útil con la que se suministra: $e = \frac{E_{\text{útil}}}{E_{\text{suministrada}}} \times 100\%$. Ninguna máquina real alcanza el 100%.

Ejemplo resuelto

1. Una pelota de 2 kg se suelta desde 10 m de altura. Con $g = 9.8$ m/s² y sin resistencia del aire, ¿cuál es su energía cinética justo antes de tocar el suelo?

a) 20 J b) 98 J c) 196 J d) 392 J

Solución. Por conservación de la energía, toda la potencial inicial se convierte en cinética:

$E_c = mgh = (2)(9.8)(10) = 196 \text{ J}$

Respuesta: c. Si quisieras la rapidez: $\frac{1}{2}(2)v^2 = 196 \Rightarrow v = 14$ m/s.

2. Un motor eleva una carga de 50 kg a una altura de 12 m en 20 s con rapidez constante. ¿Qué potencia desarrolla? (Usa $g = 9.8$ m/s².)

a) 30 W b) 294 W c) 600 W d) 5880 W

Solución.

1. Fuerza necesaria (rapidez constante): $F = mg = 50(9.8) = 490$ N.
2. Trabajo: $W = Fd = 490(12) = 5880$ J.
3. Potencia: $P = \frac{5880}{20} = 294$ W.

Respuesta: b. La opción d es el trabajo, no la potencia.

Errores comunes

• Calcular trabajo cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento; ese trabajo vale cero.
• Olvidar elevar al cuadrado la velocidad en $E_c$.
• Pensar que un objeto más pesado llega al suelo con mayor rapidez; llega con más energía, pero con la misma rapidez.
• Confundir potencia (W) con trabajo o energía (J).
• Aplicar la conservación de la energía mecánica cuando hay fricción importante.

Para recordar

• $W = Fd\cos\theta$, en joules.
• $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, $E_p = mgh$.
• Sin fricción: $E_c + E_p$ constante.
• $P = W/t$, en watts.