Álgebra

Lo esencial

• Productos notables: binomio al cuadrado, binomios conjugados y binomios con término común.
• Factorización: factor común, diferencia de cuadrados y trinomios de la forma $x^2 + bx + c$.
• Ecuaciones de primer grado y su planteamiento a partir de un enunciado.
• Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas por suma y resta o sustitución.
• Ecuaciones de segundo grado: fórmula general y discriminante.

Productos notables y factorización

Los productos notables son multiplicaciones que conviene reconocer de memoria. Factorizar es hacer el camino inverso.

Producto notable	Desarrollo
$(a+b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b)$	$a^2 - b^2$
$(x+m)(x+n)$	$x^2 + (m+n)x + mn$
$(a+b)^3$	$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Estrategia para factorizar, en este orden:

1. Factor común: $6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$.
2. Diferencia de cuadrados: $49y^2 - 16 = (7y + 4)(7y - 4)$.
3. Trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.
4. Trinomio $x^2 + bx + c$: busca dos números que multiplicados den $c$ y sumados den $b$. Así, $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$, porque $(-4)(3) = -12$ y $-4 + 3 = -1$.

Una expresión racional se simplifica factorizando arriba y abajo y cancelando factores, nunca sumandos:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{x-3}{x-2}$

Ecuaciones lineales y sistemas

Para despejar, aplica la misma operación en ambos lados. Si $3(x - 2) = x + 8$, entonces $3x - 6 = x + 8$, $2x = 14$ y $x = 7$.

Un sistema de dos ecuaciones lineales puede tener:

• Una solución: las rectas se cortan en un punto.
• Ninguna: rectas paralelas (misma pendiente, distinta ordenada).
• Infinitas: la misma recta escrita de dos formas.

Métodos más rápidos en examen: suma y resta (eliminación), cuando un coeficiente se cancela fácil, y sustitución, cuando una variable ya está despejada.

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$ se resuelve con la fórmula general:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ te dice cuántas soluciones reales hay sin resolver nada:

$\Delta$	Soluciones reales
$\Delta > 0$	Dos distintas
$\Delta = 0$	Una (raíz doble)
$\Delta < 0$	Ninguna (son complejas)

Además, la suma de las raíces es $-\frac{b}{a}$ y su producto es $\frac{c}{a}$. Esto sirve para verificar opciones en segundos. Si la ecuación es fácil de factorizar, hazlo: $x^2 - 5x + 6 = 0$ da $(x-2)(x-3) = 0$, así que $x = 2$ o $x = 3$.

Ejemplo resuelto

1. En una granja hay gallinas y conejos. En total se cuentan 20 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos conejos hay?

a) 6 b) 8 c) 12 d) 14

Solución. Sea $g$ el número de gallinas y $c$ el de conejos.

1. Cabezas: $g + c = 20$.
2. Patas: $2g + 4c = 56$.
3. Multiplica la primera por 2: $2g + 2c = 40$, y réstala de la segunda: $2c = 16$.
4. $c = 8$ y $g = 12$.

Comprueba: $2(12) + 4(8) = 24 + 32 = 56$. Respuesta: b. La opción c es el número de gallinas, una trampa típica.

2. ¿Para qué valores de $k$ la ecuación $x^2 + kx + 9 = 0$ tiene una sola solución real?

a) $k = 3$ b) $k = \pm 3$ c) $k = \pm 6$ d) $k = 9$

Solución. Una sola solución significa $\Delta = 0$:

$k^2 - 4(1)(9) = 0 \;\Rightarrow\; k^2 = 36 \;\Rightarrow\; k = \pm 6$

Respuesta: c. Con $k = 6$ queda $(x + 3)^2 = 0$ y con $k = -6$ queda $(x - 3)^2 = 0$.

Errores comunes

• Escribir $(a + b)^2 = a^2 + b^2$; falta el término $2ab$.
• Cancelar sumandos en una fracción: $\frac{x + 3}{x} \neq 3$.
• Olvidar el signo $\pm$ de la raíz y quedarte con una sola solución.
• Al pasar un término al otro lado, no cambiarle el signo; o al multiplicar por un negativo una desigualdad, no invertir el sentido.
• Responder el valor de la incógnita equivocada en problemas planteados.

Para recordar

• Memoriza los productos notables: factorizar es leerlos al revés.
• Factoriza siempre primero por factor común.
• $\Delta = b^2 - 4ac$ decide cuántas raíces reales hay.
• Suma de raíces $-b/a$, producto $c/a$: verifica sin resolver.