Aritmética

Lo esencial

• Jerarquía de operaciones: primero signos de agrupación, luego potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y al final sumas y restas.
• Fracciones: saber sumarlas, multiplicarlas, dividirlas y simplificarlas sin calculadora.
• MCD y MCM: el examen los disfraza de problemas de "cada cuánto coinciden" o "en cuántas partes iguales se reparte".
• Porcentajes: aumentos y descuentos sucesivos se multiplican, no se suman.
• Razones y proporciones: regla de tres directa e inversa.
• Leyes de los exponentes: potencias con exponente negativo, cero y fraccionario.

Jerarquía de operaciones y fracciones

Un error de orden cambia todo el resultado. Observa: $8 - 2 \times 3 = 8 - 6 = 2$, no $6 \times 3 = 18$.

Con fracciones recuerda estas reglas:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Para sumar conviene usar como denominador el MCM de los denominadores; así los números quedan más pequeños. Por ejemplo, $\frac{5}{6} + \frac{3}{4}$: el MCM de 6 y 4 es 12, así que queda $\frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}$.

Siempre simplifica al final dividiendo numerador y denominador entre su MCD: $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Divisibilidad: MCD y MCM

Descompón cada número en factores primos:

• MCD (máximo común divisor): factores comunes con su menor exponente.
• MCM (mínimo común múltiplo): todos los factores con su mayor exponente.

Número	Factores primos
12	$2^2 \cdot 3$
18	$2 \cdot 3^2$
MCD	$2 \cdot 3 = 6$
MCM	$2^2 \cdot 3^2 = 36$

Un dato útil: para dos números, $\text{MCD}(a,b) \cdot \text{MCM}(a,b) = a \cdot b$. Comprueba: $6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$.

¿Cuándo usar cada uno? Si la pregunta habla de repartir en partes iguales lo más grandes posible, es MCD. Si habla de volver a coincidir o del primer momento en que pasan juntos, es MCM.

Porcentajes y proporciones

El $p\%$ de una cantidad $x$ es $\frac{p}{100}x$. Un aumento del $p\%$ equivale a multiplicar por $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ y un descuento por $\left(1 - \frac{p}{100}\right)$.

En una proporción directa las dos cantidades crecen juntas ($\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$). En una proporción inversa, cuando una crece la otra disminuye y el producto se mantiene constante: $a \cdot b = c \cdot x$. Ejemplo clásico de inversa: más trabajadores terminan la obra en menos días.

Potencias y raíces

Regla	Ejemplo
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$
$(a^m)^n = a^{mn}$	$(3^2)^3 = 3^6 = 729$
$a^0 = 1$ (con $a \neq 0$)	$7^0 = 1$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac{1}{8}$
$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

Ejemplo resuelto

1. Dos camiones salen de una terminal a las 6:00 h; uno sale cada 12 minutos y el otro cada 18. ¿A qué hora vuelven a salir juntos por primera vez?

a) 6:30 h b) 6:36 h c) 7:00 h d) 9:36 h

Solución. Buscamos el primer múltiplo común: el MCM. Según la tabla, $\text{MCM}(12, 18) = 36$ minutos. Vuelven a coincidir a las 6:36 h. Respuesta: b. (La opción d sale de multiplicar $12 \times 18 = 216$ minutos, que es un múltiplo común pero no el mínimo.)

2. Un artículo cuesta 800 pesos. Primero se rebaja 25% y después el nuevo precio sube 10%. ¿Cuál es el precio final?

a) 680 pesos b) 720 pesos c) 660 pesos d) 640 pesos

Solución.

1. Descuento: $800 \times 0.75 = 600$.
2. Aumento sobre el nuevo precio: $600 \times 1.10 = 660$.

El precio final es 660 pesos, respuesta c. Si hubieras restado los porcentajes ($25\% - 10\% = 15\%$) obtendrías 680 pesos, que es incorrecto porque el 10% se aplica sobre 600, no sobre 800.

Errores comunes

• Sumar fracciones sumando numeradores y denominadores: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$; en realidad es $\frac{5}{6}$.
• Confundir MCD con MCM en problemas de coincidencias.
• Sumar o restar porcentajes sucesivos en lugar de multiplicar sus factores.
• Pensar que $a^{-n}$ es un número negativo: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ es positivo.
• Resolver de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía de operaciones.

Para recordar

• Agrupación → potencias → multiplicación/división → suma/resta.
• MCD: comunes con menor exponente; MCM: todos con mayor exponente.
• Porcentajes sucesivos: multiplica los factores $(1 \pm p/100)$.
• En proporción inversa, el producto de las cantidades es constante.