Cálculo diferencial

Lo esencial

• Límites: cómo resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$ factorizando o simplificando.
• La derivada como pendiente de la recta tangente y como razón de cambio instantánea.
• Reglas de derivación: potencia, producto, cociente y cadena.
• Derivadas de funciones básicas: trigonométricas, exponencial y logaritmo natural.
• Máximos y mínimos: puntos críticos con $f'(x) = 0$ y criterio de la segunda derivada.

Límites

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$. Primero sustituye. Si obtienes un número, ese es el límite. Si obtienes $\frac{0}{0}$, es una indeterminación: factoriza, cancela y vuelve a sustituir.

Para límites al infinito de cocientes de polinomios, compara los grados:

Grados	$\lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{q(x)}$
grado de $p$ < grado de $q$	$0$
grados iguales	cociente de los coeficientes principales
grado de $p$ > grado de $q$	no existe (tiende a $\pm\infty$)

Por ejemplo, $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{5x^2 - x} = \frac{3}{5}$.

La derivada y sus reglas

La derivada se define como

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

y mide la pendiente de la tangente a la curva en cada punto. En física, si $x(t)$ es la posición, $x'(t)$ es la velocidad y $x''(t)$ la aceleración.

Función	Derivada
$c$ (constante)	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$

Reglas para combinar funciones:

• Producto: $(uv)' = u'v + uv'$.
• Cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Cadena: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Derivas "lo de afuera" y multiplicas por la derivada "de lo de adentro".

Ejemplo de cadena: si $y = (3x^2 + 1)^4$, entonces $y' = 4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$.

Recta tangente, máximos y mínimos

La recta tangente a $f$ en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Para encontrar extremos:

1. Deriva y resuelve $f'(x) = 0$; las soluciones son los puntos críticos.
2. Evalúa la segunda derivada en cada uno:
   • $f''(a) > 0$: hay un mínimo (la curva es cóncava hacia arriba).
   • $f''(a) < 0$: hay un máximo (cóncava hacia abajo).
3. Donde $f'' = 0$ y cambia de signo hay un punto de inflexión.

Además, $f$ es creciente donde $f'(x) > 0$ y decreciente donde $f'(x) < 0$.

Razón de cambio. Muchos reactivos no dicen "deriva", sino "¿con qué rapidez cambia...?". Si el radio de un círculo crece, el área cambia según $\frac{dA}{dr} = 2\pi r$; cuando $r = 3$ cm, el área aumenta a razón de $6\pi$ cm² por cada centímetro de radio. Identifica qué variable depende de cuál y deriva respecto a la independiente.

Ejemplo resuelto

1. Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

a) 0 b) 2 c) 4 d) No existe

Solución. Al sustituir sale $\frac{0}{0}$. Factoriza:

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2$

Ahora sustituye: $2 + 2 = 4$. Respuesta: c. Que la función no esté definida en $x = 2$ no impide que el límite exista.

2. Con 40 m de malla se quiere cercar un terreno rectangular. ¿Cuál es el área máxima que se puede encerrar?

a) 64 m² b) 96 m² c) 100 m² d) 400 m²

Solución.

1. Si un lado mide $x$, el perímetro da $2x + 2y = 40$, así que $y = 20 - x$.
2. Área: $A(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$.
3. $A'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$, y $y = 10$.
4. $A''(x) = -2 < 0$: es un máximo.
5. $A = 10 \cdot 10 = 100$ m².

Respuesta: c. El rectángulo de área máxima con perímetro fijo es un cuadrado.

Errores comunes

• Concluir "no existe" en cuanto aparece $\frac{0}{0}$, sin simplificar primero.
• Derivar un producto multiplicando las derivadas: $(uv)' \neq u'v'$.
• Olvidar multiplicar por la derivada interior en la regla de la cadena.
• Equivocar el signo en la regla del cociente: el numerador es $u'v - uv'$, en ese orden.
• Escribir que la derivada de $\cos x$ es $\sin x$; es $-\sin x$.

Para recordar

• Límite: sustituye; si sale $\frac{0}{0}$, factoriza y vuelve a sustituir.
• $(x^n)' = nx^{n-1}$ y la regla de la cadena resuelven casi todo.
• Puntos críticos: $f'(x) = 0$.
• $f'' > 0$ mínimo; $f'' < 0$ máximo.