Cálculo integral

Lo esencial

• La integral indefinida es la operación inversa de la derivada y siempre lleva $+C$.
• Integrales inmediatas: regla de la potencia, exponencial, $\frac{1}{x}$, seno y coseno.
• Cambio de variable (sustitución) cuando aparece una función junto a su derivada.
• Teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales definidas.
• Área bajo una curva y área entre dos curvas.

Antiderivadas e integrales inmediatas

$F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ si $F'(x) = f(x)$. Como la derivada de una constante es cero, hay infinitas antiderivadas que difieren en una constante:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

Integral	Resultado
$\int x^n\,dx$ ($n \neq -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\int \frac{1}{x}\,dx$	$\ln\lvert x \rvert + C$
$\int e^x\,dx$	$e^x + C$
$\int \cos x\,dx$	$\sin x + C$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x + C$
$\int k\,dx$	$kx + C$

La integral es lineal: $\int [a f(x) + b g(x)]\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$. Así, $\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 5x + C$.

Truco para verificar en el examen: deriva tu respuesta. Si obtienes el integrando, está bien.

Cambio de variable

Si en el integrando aparece una función $g(x)$ y también su derivada $g'(x)$, haz $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$:

$\int 2x\cos(x^2)\,dx \;\xrightarrow{\;u = x^2,\; du = 2x\,dx\;}\; \int \cos u\,du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$

Si la derivada aparece multiplicada por una constante distinta, ajústala. Por ejemplo, en $\int x(x^2 + 1)^5\,dx$, con $u = x^2 + 1$, $du = 2x\,dx$, queda $\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{(x^2 + 1)^6}{12} + C$.

Integral definida y área

El teorema fundamental del cálculo dice que si $F' = f$, entonces

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

En la integral definida no se escribe $+C$, porque se cancela al restar. Propiedades útiles:

• $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.
• $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.
• $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$.

Interpretación geométrica: si $f(x) \geq 0$ en $[a, b]$, la integral definida es el área entre la curva y el eje $x$. Si la curva queda debajo del eje, la integral sale negativa; para obtener área, toma el valor absoluto de cada tramo.

El área entre dos curvas, con $f(x) \geq g(x)$ en $[a, b]$, es

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$

Los límites suelen ser los puntos donde las curvas se cortan.

Aplicaciones que aparecen en el examen

La integral "acumula" una razón de cambio. Por eso, en física, integrar la velocidad da el desplazamiento y integrar la aceleración da la velocidad. Si un móvil tiene velocidad $v(t) = 3t^2$ m/s, entre $t = 0$ y $t = 2$ s se desplaza $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m.

Cuando una pregunta te da la derivada y un dato inicial, usa ese dato para encontrar $C$. Si $f'(x) = 2x$ y $f(1) = 5$, entonces $f(x) = x^2 + C$ y $1 + C = 5$, así que $C = 4$ y $f(x) = x^2 + 4$. Este tipo de reactivo se llama problema de valor inicial y es de los más rápidos de resolver si no olvidas la constante.

Ejemplo resuelto

1. Evalúa $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2x)\,dx$.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 16

Solución.

1. Antiderivada: $F(x) = x^3 + x^2$.
2. $F(2) = 8 + 4 = 12$ y $F(0) = 0$.
3. $\int_0^2 (3x^2 + 2x)\,dx = 12 - 0 = 12$.

Respuesta: c. La opción a sale de integrar solo el primer término ($2^3 = 8$) y olvidar el $2x$.

2. ¿Cuál es el área de la región limitada por la parábola $y = 4 - x^2$ y el eje $x$?

a) $\frac{16}{3}$ b) $8$ c) $\frac{32}{3}$ d) $16$

Solución.

1. Cortes con el eje $x$: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$.
2. En $[-2, 2]$ la parábola está arriba del eje.
3. $A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$.
4. $\left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Respuesta: c. La opción a es solo la mitad derecha, de $0$ a $2$.

Errores comunes

• Olvidar el $+C$ en una integral indefinida.
• Usar la regla de la potencia con $n = -1$: $\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.
• Restar al revés: es $F(b) - F(a)$, el límite superior menos el inferior.
• Confundir signos: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.
• Tomar como área una integral que sale negativa o que mezcla tramos arriba y abajo del eje.

Para recordar

• Integrar es derivar al revés; verifica derivando.
• $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, con $n \neq -1$.
• $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Área entre curvas: integral de (la de arriba − la de abajo).