Funciones

Lo esencial

• Definición: a cada valor del dominio le corresponde un solo valor del rango (prueba de la recta vertical).
• Dominio: cuidado con denominadores, raíces pares y logaritmos.
• Composición $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ e inversa $f^{-1}$.
• Funciones clave: lineal, cuadrática (vértice), exponencial y logarítmica.
• Transformaciones: desplazamientos y reflexiones de una gráfica.

Dominio y rango

El dominio son los valores de $x$ que puedes sustituir; el rango (o imagen) son los valores que toma $f(x)$. Para hallar el dominio, busca qué está prohibido:

Expresión	Condición
$\frac{p(x)}{q(x)}$	$q(x) \neq 0$
$\sqrt{u(x)}$ (raíz par)	$u(x) \geq 0$
$\log u(x)$	$u(x) > 0$

Los polinomios tienen como dominio todos los reales. Una gráfica representa una función si ninguna recta vertical la corta en más de un punto; por eso una circunferencia no es función de $x$.

Composición e inversa

Para componer, la salida de una función es la entrada de la otra. El orden importa: en general $f(g(x)) \neq g(f(x))$.

La inversa deshace lo que hace la función: $f(f^{-1}(x)) = x$. Solo existe si $f$ es inyectiva (prueba de la recta horizontal). Para encontrarla:

1. Escribe $y = f(x)$.
2. Intercambia $x$ y $y$.
3. Despeja $y$.

Ejemplo: si $f(x) = 3x - 6$, entonces $x = 3y - 6$, y $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}$. La gráfica de $f^{-1}$ es el reflejo de la de $f$ respecto a la recta $y = x$, y el dominio de una es el rango de la otra.

Familias de funciones

Lineal $f(x) = mx + b$: recta con pendiente $m$.

Cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$: parábola que abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$. Su vértice está en

$x_v = -\frac{b}{2a}, \qquad y_v = f(x_v)$

El vértice da el valor mínimo (si $a > 0$) o máximo (si $a < 0$), muy usado en problemas de optimización.

Exponencial $f(x) = a^x$ con $a > 0$, $a \neq 1$: dominio todos los reales, rango $(0, \infty)$, pasa por $(0, 1)$. Crece si $a > 1$ y decrece si $0 < a < 1$.

Logarítmica $f(x) = \log_a x$: es la inversa de la exponencial. Dominio $(0, \infty)$, pasa por $(1, 0)$. Recuerda que $\log_a x = y$ significa $a^y = x$.

Leyes de los logaritmos:

• $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
• $\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$
• $\log_a(M^k) = k\log_a M$
• $\log_a 1 = 0$ y $\log_a a = 1$

Transformaciones de gráficas

A partir de $y = f(x)$, con $k > 0$:

Nueva función	Efecto
$f(x) + k$	sube $k$ unidades
$f(x) - k$	baja $k$ unidades
$f(x - k)$	se mueve $k$ a la derecha
$f(x + k)$	se mueve $k$ a la izquierda
$-f(x)$	se refleja respecto al eje $x$
$f(-x)$	se refleja respecto al eje $y$

Así, $y = (x - 2)^2 + 3$ es la parábola $y = x^2$ con vértice movido a $(2, 3)$.

Ejemplo resuelto

1. ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$?

a) $x > 3$ b) $x \geq 3$ c) $x \geq 3$, $x \neq 5$ d) $x \neq 5$

Solución.

1. Raíz par: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$.
2. Denominador: $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
3. Se cumplen ambas: $[3, 5) \cup (5, \infty)$.

Respuesta: c.

2. Si $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$, ¿cuánto vale $(f \circ g)(3)$?

a) 19 b) 49 c) 7 d) 10

Solución. Primero se aplica $g$ y luego $f$:

1. $g(3) = 3^2 = 9$.
2. $f(9) = 2(9) + 1 = 19$.

Respuesta: a. La opción b corresponde a $(g \circ f)(3) = g(7) = 49$, el orden invertido.

Errores comunes

• Aplicar primero la función de la izquierda en una composición.
• Pensar que $f(x - 2)$ desplaza la gráfica a la izquierda.
• Confundir $f^{-1}(x)$ con $\frac{1}{f(x)}$.
• Escribir $\log(M + N) = \log M + \log N$; esa "ley" no existe.
• Olvidar que el argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo.

Para recordar

• Dominio: sin dividir entre cero, sin raíces pares de negativos, sin logaritmos de números $\leq 0$.
• $(f \circ g)(x) = f(g(x))$: se evalúa de adentro hacia afuera.
• Vértice de la parábola en $x = -\frac{b}{2a}$.
• Exponencial y logaritmo son inversas: $a^y = x \iff \log_a x = y$.