Geometría analítica

Lo esencial

• Distancia y punto medio entre dos puntos del plano.
• Pendiente de una recta y condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
• Ecuaciones de la recta: punto-pendiente, pendiente-ordenada y general.
• Circunferencia: pasar de la forma general a la forma ordinaria para hallar centro y radio.
• Parábola, elipse e hipérbola: identificar la cónica, sus elementos y su orientación.

Puntos y rectas

Para $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, \qquad M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right), \qquad m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Formas de la ecuación de una recta:

Forma	Ecuación	Dato clave
Punto-pendiente	$y - y_1 = m(x - x_1)$	un punto y la pendiente
Pendiente-ordenada	$y = mx + b$	$b$ es el corte con el eje $y$
General	$Ax + By + C = 0$	$m = -\frac{A}{B}$

Dos rectas son paralelas si $m_1 = m_2$ y perpendiculares si $m_1 \cdot m_2 = -1$ (es decir, una pendiente es la recíproca de la otra con signo contrario). Una recta horizontal tiene $m = 0$; una vertical tiene pendiente indefinida y su ecuación es $x = k$.

La distancia de un punto $(x_0, y_0)$ a la recta $Ax + By + C = 0$ es $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Circunferencia

Con centro $(h, k)$ y radio $r$:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Si te dan la forma general $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$, completa cuadrados en $x$ y en $y$. Atajo: el centro es $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$.

Parábola, elipse e hipérbola

Parábola con vértice $(h, k)$: es el conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto fijo (foco) y de una recta (directriz).

• Eje vertical: $(x - h)^2 = 4p(y - k)$. Abre hacia arriba si $p > 0$ y hacia abajo si $p < 0$.
• Eje horizontal: $(y - k)^2 = 4p(x - h)$. Abre a la derecha si $p > 0$.
• El foco está a una distancia $|p|$ del vértice y el lado recto mide $|4p|$.

Elipse con centro $(h, k)$: la suma de distancias a los dos focos es constante e igual a $2a$.

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad (a > b), \qquad c^2 = a^2 - b^2, \qquad e = \frac{c}{a} < 1$

El denominador mayor indica la dirección del eje mayor.

Hipérbola: la diferencia de distancias a los focos es constante e igual a $2a$.

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, \qquad c^2 = a^2 + b^2, \qquad e = \frac{c}{a} > 1$

Su eje focal sigue a la variable con signo positivo.

Para identificar la cónica en una ecuación de segundo grado sin término $xy$, mira los coeficientes de $x^2$ y $y^2$: iguales → circunferencia; uno de ellos es cero → parábola; mismo signo pero distintos → elipse; signos opuestos → hipérbola.

Ejemplo resuelto

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por $(1, 2)$ y es perpendicular a $y = 2x + 3$?

a) $2x - y = 0$ b) $x + 2y - 5 = 0$ c) $x - 2y + 3 = 0$ d) $2x + y - 4 = 0$

Solución.

1. La recta dada tiene $m_1 = 2$, así que la perpendicular tiene $m_2 = -\frac{1}{2}$.
2. Punto-pendiente: $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$.
3. Multiplica por 2: $2y - 4 = -x + 1$, es decir, $x + 2y - 5 = 0$.

Comprueba con el punto: $1 + 4 - 5 = 0$. Respuesta: b. La opción a es la paralela por ese punto.

2. Halla el centro y el radio de $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$.

a) $(3, -2)$, $r = 5$ b) $(-3, 2)$, $r = 5$ c) $(3, -2)$, $r = \sqrt{12}$ d) $(-6, 4)$, $r = 12$

Solución. Completa cuadrados:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Centro $(3, -2)$ y radio $5$. Respuesta: a. La opción b cambia mal los signos y la c olvida sumar los números que completan los cuadrados.

Errores comunes

• Leer el centro con el signo equivocado: en $(x - 3)^2$ el centro tiene $h = 3$, no $-3$.
• Tomar $r^2$ como si fuera $r$.
• Creer que perpendicular es solo cambiar el signo de la pendiente; también hay que invertirla.
• Confundir $c^2 = a^2 - b^2$ (elipse) con $c^2 = a^2 + b^2$ (hipérbola).
• Restar las coordenadas en distinto orden en el numerador y el denominador de la pendiente.

Para recordar

• Paralelas: $m_1 = m_2$; perpendiculares: $m_1 m_2 = -1$.
• Completa cuadrados para pasar de la forma general a la ordinaria.
• Parábola: $|4p|$ es el lado recto; el foco está a $|p|$ del vértice.
• Elipse $e < 1$, hipérbola $e > 1$.