Geometría euclidiana

Lo esencial

• Ángulos: complementarios suman 90°, suplementarios 180°; ángulos entre paralelas cortadas por una transversal.
• Triángulos: sus ángulos interiores suman 180°; teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos.
• Semejanza: lados proporcionales y ángulos iguales; base de los problemas de sombras y alturas.
• Polígonos: suma de ángulos interiores y número de diagonales.
• Áreas, perímetros y volúmenes de figuras básicas.

Ángulos y rectas paralelas

Cuando una transversal corta dos rectas paralelas se forman ocho ángulos. Los alternos internos, los alternos externos y los correspondientes son iguales entre sí; los conjugados (del mismo lado de la transversal y entre las paralelas) suman 180°.

Otros datos que debes tener a la mano:

• Ángulos opuestos por el vértice son iguales.
• El complemento de 35° es 55°; su suplemento es 145°.
• Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Triángulos

Por sus lados: equilátero (3 iguales), isósceles (2 iguales) y escaleno (ninguno igual). Por sus ángulos: acutángulo, rectángulo (uno de 90°) y obtusángulo (uno mayor que 90°).

En un triángulo rectángulo con catetos $a$, $b$ e hipotenusa $c$:

$c^2 = a^2 + b^2$

Ternas pitagóricas útiles: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$ y sus múltiplos, como $(6, 8, 10)$.

Semejanza: dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales; entonces sus lados correspondientes son proporcionales. Si la razón de semejanza entre lados es $k$, la razón entre sus áreas es $k^2$ y entre volúmenes de cuerpos semejantes es $k^3$.

Congruencia: los criterios son LLL, LAL y ALA; triángulos congruentes tienen exactamente la misma forma y tamaño.

Desigualdad del triángulo: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Con lados 2, 3 y 6 no se puede formar un triángulo.

Polígonos y círculo

Para un polígono convexo de $n$ lados:

$S_{\text{int}} = 180^\circ (n - 2), \qquad D = \frac{n(n-3)}{2}$

En un polígono regular, cada ángulo interior mide $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$ y cada ángulo exterior $\frac{360^\circ}{n}$. Los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo suman siempre 360°.

En el círculo, un ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Por eso un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Áreas y volúmenes

Figura	Área		Cuerpo	Volumen
Triángulo	$\frac{bh}{2}$		Prisma	$A_{\text{base}} \cdot h$
Rectángulo	$bh$		Cilindro	$\pi r^2 h$
Trapecio	$\frac{(B+b)h}{2}$		Pirámide	$\frac{1}{3}A_{\text{base}} \cdot h$
Rombo	$\frac{Dd}{2}$		Cono	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$
Círculo	$\pi r^2$		Esfera	$\frac{4}{3}\pi r^3$

La longitud de la circunferencia es $2\pi r$ y el área de la superficie de una esfera es $4\pi r^2$. Fíjate en el factor $\frac{1}{3}$: un cono cabe exactamente tres veces en el cilindro de igual base y altura.

Ejemplo resuelto

1. Los ángulos interiores de un polígono convexo suman 1440°. ¿Cuántas diagonales tiene?

a) 20 b) 27 c) 35 d) 44

Solución.

1. $180(n - 2) = 1440 \Rightarrow n - 2 = 8 \Rightarrow n = 10$ (decágono).
2. $D = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{70}{2} = 35$.

Respuesta: c. Las opciones a, b y d corresponden a polígonos de 8, 9 y 11 lados.

2. A cierta hora, un poste proyecta una sombra de 6 m, mientras que una persona de 1.6 m de estatura proyecta una sombra de 2.4 m. ¿Cuánto mide el poste?

a) 3.6 m b) 4 m c) 9 m d) 4.8 m

Solución. Los rayos del Sol llegan paralelos, así que los triángulos poste-sombra y persona-sombra son semejantes:

$\frac{h}{6} = \frac{1.6}{2.4} \;\Rightarrow\; h = \frac{1.6 \times 6}{2.4} = 4 \text{ m}$

Respuesta: b. La opción c sale de invertir la proporción.

Errores comunes

• Usar Pitágoras en triángulos que no son rectángulos.
• Olvidar el $\frac{1}{3}$ en el volumen de conos y pirámides.
• Pensar que si los lados se duplican el área también se duplica (en realidad se cuadruplica).
• Confundir radio con diámetro en las fórmulas del círculo.
• Aplicar $180(n-2)$ para obtener cada ángulo, sin dividir entre $n$ en polígonos regulares.

Para recordar

• Triángulo: 180°; polígono de $n$ lados: $180(n-2)$; exteriores: 360°.
• Pitágoras solo en triángulos rectángulos; memoriza 3-4-5 y 5-12-13.
• Semejanza: lados $k$, áreas $k^2$, volúmenes $k^3$.
• Conos y pirámides: un tercio del prisma o cilindro correspondiente.