Trigonometría

Lo esencial

• Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo: seno, coseno y tangente (y sus recíprocas).
• Valores de los ángulos notables: 30°, 45° y 60°.
• Conversión entre grados y radianes.
• Identidad pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ y sus derivadas.
• Ley de senos y ley de cosenos para triángulos que no son rectángulos.

Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo $\theta$:

$\sin\theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$

Las recíprocas son $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$, $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ y $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$. Además, $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$.

Valores que debes saber sin pensar:

Ángulo	$\sin$	$\cos$	$\tan$
0°	$0$	$1$	$0$
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	$1$	$0$	no definida

Observa que $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$: el seno de un ángulo es el coseno de su complemento.

Radianes y círculo unitario

Una vuelta completa mide $360^\circ = 2\pi$ rad. Para convertir:

$\text{rad} = \text{grados} \times \frac{\pi}{180}, \qquad \text{grados} = \text{rad} \times \frac{180}{\pi}$

Así, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$ y $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$.

En el círculo unitario, el punto asociado al ángulo $\theta$ es $(\cos\theta, \sin\theta)$. Los signos por cuadrante son:

Cuadrante	Positivas
I (0° a 90°)	todas
II (90° a 180°)	seno
III (180° a 270°)	tangente
IV (270° a 360°)	coseno

Identidades fundamentales

• Pitagórica: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• Dividiendo entre $\cos^2\theta$: $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$.
• Dividiendo entre $\sin^2\theta$: $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$.
• Ángulo doble: $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ y $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$.

Para simplificar una expresión, conviene escribir todo en senos y cosenos. Por ejemplo, $\tan\theta \cdot \cos\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta = \sin\theta$.

Triángulos oblicuángulos

Si el triángulo no es rectángulo, con lados $a$, $b$, $c$ opuestos a los ángulos $A$, $B$, $C$:

$\text{Ley de senos: } \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\text{Ley de cosenos: } c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Usa la ley de senos cuando conoces un lado y su ángulo opuesto. Usa la ley de cosenos cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados. Si $C = 90^\circ$, la ley de cosenos se reduce a Pitágoras porque $\cos 90^\circ = 0$.

Ejemplo resuelto

1. Un papalote está sujeto con un hilo tenso de 50 m que forma un ángulo de 30° con el suelo. ¿A qué altura está el papalote (desde la mano de quien lo sostiene)?

a) 25 m b) $25\sqrt{3}$ m c) $50\sqrt{3}$ m d) 100 m

Solución. El hilo es la hipotenusa y la altura es el cateto opuesto al ángulo de 30°:

$h = 50 \sin 30^\circ = 50 \cdot \frac{1}{2} = 25 \text{ m}$

Respuesta: a. La opción b (unos 43.3 m) es la distancia horizontal, que se obtiene con el coseno.

2. Dos lados de un triángulo miden 5 cm y 8 cm, y el ángulo entre ellos es de 60°. ¿Cuánto mide el tercer lado?

a) 7 cm b) $\sqrt{89}$ cm c) 13 cm d) $\sqrt{129}$ cm

Solución. Conocemos dos lados y el ángulo comprendido: ley de cosenos.

1. $c^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos 60^\circ$.
2. $c^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$.
3. $c = 7$ cm.

Respuesta: a. La opción b supone, por error, un ángulo recto, y la d suma el término en lugar de restarlo.

Errores comunes

• Confundir cateto opuesto y adyacente: siempre depende del ángulo que estás usando.
• Tener la calculadora (o la mente) en grados cuando el problema está en radianes, o al revés.
• Escribir $\sin^2\theta$ como $\sin(\theta^2)$.
• Olvidar los signos según el cuadrante: $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, no $\frac{1}{2}$.
• Aplicar la ley de senos cuando solo conoces dos lados y el ángulo entre ellos.

Para recordar

• SOH-CAH-TOA: seno = op/hip, coseno = ad/hip, tangente = op/ad.
• $180^\circ = \pi$ rad.
• $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ es la identidad madre.
• Lado + ángulo opuesto → senos; dos lados + ángulo entre ellos → cosenos.